Poliedro

Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados. Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro. Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.

Notações para poliedros convexos: V é Número de vértices,F é Número de faces,A é Número de arestas, n é Número de lados da região poligonal regular (de cada face) e m é Número de ângulos entre as arestas do poliedro convexo. As relações de Euler são duas importantes relações entre o número F de faces, o número V de vértices, o número A de arestas e o número m de ângulos entre as arestas. F + V = A + 2,      m = 2 A Na tabela abaixo, você pode observar o cumprimento de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares convexos.

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

                           

                              Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:

Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.
Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais. Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

•Exercícios Resolvidos

•1º) Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?

•Resolução:

•Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:

•12 . 5  = 60

•O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim 20 . 6  = 120, logo:  F = 12 + 20 = 32

•Cada aresta foi contada duas vezes, portanto temos:

•2A = 60 + 120
A = 90

•Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,

•V – A + F = 2, portanto:

•V – 90 + 32 =2
V = 2 + 90 – 32
V = 60

•Assim, o número de vértices é 60.

•2º) Determinar o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.

•Resolução:

•Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, calculamos: 6 . 4 = 24

•O poliedro tem 4 faces triangulares: 4 . 3 = 12

•Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é:  A = (24+12)/2 = 18

•Temos então F  = 10, A = 18.

•Aplicando a relação de Euler:

•V – A + F = 2
V – 18 + 10 = 2
V = 10

•Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.

•Exercícios para praticar

•1º) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma face pentagonal e duas faces hexagonais.

•2º) (PUC –SP) O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é:

a) 4                  b) 12                c) 10                d) 6                  e) 8

No final do século XIX, a Bolívia buscava uma alternativa para a perda de seus territórios marítimos da costa do Pacífico para o Chile, a fim de ter como escoar sua produção para os países compradores. No noroeste boliviano, o rio Madeira era uma alternativa que já estava sendo usada como corredor de importação e exportação.Navegando pelos rios Beni e Madre de Dios pertencentes ao território boliviano, e Guaporé e Mamoré, na fronteira desse país com o Brasil, atingia-se o madeira e, superando seu trecho encachoeirado, navegando-se em direção ao rio Amazonas e daí ao Oceano Atlântico. O inconveniente em superar as quedas d’água, que ocasionava perdas humanas e materiais, conduziu à discussão de propostas que viessem a facilitar o transporte naquele trecho do rio. Assim, Quetin Quevedo, que desceu o Madeira em 1861 a serviço do governo boliviano, sugeriu a sua canalização ou a construção de ferrovia entre as cachoeiras de Guajará – Mirim e Santo Antonio.

As duas comissões enviadas pelo Governo Imperial, uma em 1883, comandada pelo Engenheiro Carlos Morsing que ficou em Santo Antônio durante seis meses e outra em 1884 comandada pelo Engenheiro Julio Pinkas, terminaram também desastrosamente. A questão do Acre (1899-1902), que foi resolvida com a assinatura do Tratado de Petrópolis, entre Brasil e Bolívia (17-11-1903), retornou à discussão sobre a viabilização da construção da ferrovia Madeira –Mamoré. As obras foram reiniciadas em 1907, após a concessão para a construção da ferrovia ter sido vendida pelo Engenheiro Joaquim Catramby para o norte-americano Percival Farquar, que fundou a Madeira-Mamoré Railway Co., subsidiária da Brasil Ralway Co. E, 1907 chega a Santo Antônio a empreiteira May, Jeckyl & Randolfh Co. Ltd. Que deu início às obras concluído-as em 1912.

Bom, esse é o assunto q foi dado pelo Lourismar, agora é só estudar ;D